Integrales
sábado, 3 de noviembre de 2012
3.2 Integrales
La integral es la operación contraria de la derivada,
integral es el signo que indica la integración y el resultado de integrar una
expresión diferencial. Se conoce como cálculo integral a la rama de las
matemáticas que busca obtener una función a partir de su derivada.
lunes, 27 de agosto de 2012
3.1 Derivadas
3.1.1 Definición
3.1.3 Matematicos y Fisicos
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
3.1.2 Historia Derivadas
Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron el concepto de derivada.
Por su parte Leibniz fue el primero en publicar la teoría, sin embargo Newton ya tenía escritos papeles escritos antes que Leibniz (desafortunadamente no los publicó).La rivalidad entre los dos se acentuó por la rivalidad que presentaba Alemania e Inglaterra en esos tiempos.
Por medio del estudio de las tangentes Newton llegó al concepto de derivada, mientras que Leibniz lo hizo al estudiar la velocidad de un móvil.
Leibniz afirmaba que la música es el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando. Y es que precisamente dentro de la música podemos encontrar las matemáticas (en el ritmo y en la armonía).
El origen del Cálculo lo podemos encontrar en la cultura griega. El cálculo de éste tiempo se aplicaba al cálculo de aéreas y volúmenes que llevo a cabo Arquímedes en el siglo III A.C. Sin embargo se tuvo que esperar hasta el siglo XVII para que se redescubriera el cálculo.
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- Sir Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de marzo de 1727 JU; 4 de enero de 1643 GR – 31 de marzo de 1727 GR) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre.
- Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.
3.14 Desarrollos Cientificos y Tecnologicos
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
3.2 Ejemplos de Derivadas
Vídeos Recomendados Para que obtengas una mejor explicación de la solución de los diferentes métodos de Derivación
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Derivada Por Producto
Ver Explicación Descarga la imagen de la explicación paso por paso de cada método de derivación
Derivada Por Producto
Derivada Por Potencia
Derivada Por Cociente
Derivada Por La Regla Cadena
Derivada Por Raiz
Derivada Por Limite
martes, 5 de junio de 2012
6.1 Limites
6.1.1 Definición
6.1.4 ¿Que desarrollos cientificos y tecnologicos se han logrado con los conceptos de los limites?
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función. Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general
"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"
Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir
"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"
6.1.2 Historia
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Eudoxo y Arquímedes quisieron encontrar el área del círculo. En el siglo XVII Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes.
Sin embargo, fue inventado por Newton alrededor de 1669 y Leibniz alrededor de 1684 y lo desarrollaron ampliamente en el siglo XVIII los Bernouilli, Euler, Lagrange y muchos otros. Pero fue en siglo XIX con el trabajo de Dirichlet, Cauchy y Weierstrass, y otros cuando sus fundamentos fueron puestos sobre una base firme.
6.1.3 ¿Cuales mateticos fueron los primeros que hablaron de limites?
Wallis (1616-1703) introduce el concepto de límite y el símbolo para el infinito. Newton y Leibniz ignoraban una definición precisa de límite y de los conceptos que éste lleva asociado y sin embargo no fue ningún impedimento grave para inventar el cálculo. Tenían una idea intuitiva de los límites. Los conocimientos de los límites fueron asentados en el siglo XIX por Cauchy, Dedekind y Weierstrass.
La famosa curva descubierta en 1906 por Helge von Koch y que originó los fractales fue un proceso al límite de un triángulo equilátero y en cada lado un nuevo triángulo.
René Descarte Francia
1596-1650
Pierre de Fermat Francia
1601-1665
Isaac Barrow Inglaterra
1630-1677
Isaac Newton Inglaterra 1642-1727
Gottfried W. Leibniz Alemania
1646-1716
Leonard Euler Suiza
1707-1783
Bernhard Bolzano Checoslovaquia
1781-1848
Agustín L. Cauchy Francia
1789-1857
Karl Weierstrass Alemania
1815-1897
Bernhard Riemann Alemania
1826-1866
6.1.4 ¿Que desarrollos cientificos y tecnologicos se han logrado con los conceptos de los limites?
sábado, 24 de marzo de 2012
5.2 Teorema de Pitágoras
PITÁGORAS.
Una de las
demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación,
que suele atribuirse al propio Pitágoras.
A partir de
la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad
En un
triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
a²+b²=c²
5.1 Historia de la Trígonometría
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron
los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones
trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de
pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para
avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y
posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación
y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en
donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber
sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de
“cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones
trigonométricas de la actualidad.
5.3 Relaciones Trígonométricas
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa:
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el
adyacente:
5.4 Teoremas del Seno y del Coseno
Teorema del Seno
Teorema nos puede resultar para cálculos trigonométricos:
Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos nos
permitirá calcular el lado opuesto al otro ángulo.
Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos nos
permitirá conocer el Seno del ángulo opuesto al otro lado. En este caso habrá
que prestar mucha atención porque el Seno de un ángulo puede no determinar de
forma única el ángulo correspondiente. Recordemos que:
Teorema del coseno
En muchas lecciones trigonométricas se establece éste
resultado previo que, para nosotros no es nada nuevo porque ya hemos visto el
Teorema del lado opuesto al ángulo. En él se observaba de manera indirecta esta
relación y se detallaba más.
El teorema de Pitágoras establece una relación entre los
lados de un triángulo rectángulo, sin embargo, es fácil ampliar esta relación a
cualquier triángulo, en los términos siguientes:
- Con la nomenclatura habitual, en cualquier triángulo ABC:
- Si el ángulo del vértice A es menor de 90º : a2 < b2 + c2
- Si el ángulo del vértice A es igual a 90º : a2 = b2 + c2
- Si el ángulo del vértice A es mayor de 90º : a2 > b2 + c2
martes, 13 de marzo de 2012
3.1 Definición de Polígono
Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por
segmentos. A estos segmentos se les llama lados. La palabra polígono está
formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos; por
lo tanto, es una figura con varios ángulos. También se define como una
poligonal cerrada.
El polígono es la frontera que separa al plano en dos
regiones: una que está dentro, llamada región interior del polígono y una
exterior, llamada región exterior del polígono. El plano es la unión de estos
tres subconjuntos.
2.1 Recta, Semirrecta y Segmento
Recta
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en
una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una
letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Semirrecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda
dividida una recta por cualquiera de sus puntos, o la parte de una recta
formada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la
recta.
Luego, una semirrecta tiene un primer punto, denominado
origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Segmento
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos,
llamados extremos
Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra
minúscula.
2.2 Ángulo y Clases de Ángulos
Angulo
Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del
plano.
Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos <abc
y <xyz. Podemos además nombrarlos mediante una letra griega o con un número
que se coloca dentro del ángulo. También se puede nombrar por la letra que
represente al vértice.
Clases de ángulos
Ángulo agudo: un
ángulo de menos de 90°
Ángulo recto: un
ángulo de 90°
Ángulo obtuso: un
ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano: un
ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo: un ángulo de más de 180°
2.3 Mediatriz y Bisectriz
Mediatriz
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al
segmento y que pasa por su punto medio.
Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del
segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio.
El dibujo siguiente muestra la mediatriz y el punto medio de
un segmento.
Bisectriz
La línea que divide algo en dos partes iguales.
Puedes bisectar líneas, ángulos, y otras cosas.
2.4 Recta Paralela Y Perpenticular
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman
cuatro ángulos iguales.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella,
por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en
común, o cuando son coincidentes.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella,
por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta
1.3 ¿ Que Es La Geometria ?
Geometría
El área de las matemáticas que trata las líneas, las figuras
y el espacio.
La Geometría Plana trata sobre las figuras planas como
líneas, círculos y triángulos.
La Geometría Esférica trata las figuras sólidas
(tridimensionales) como esferas y cubos
1.2 Filosofos Y Matematicos
PITÁGORAS
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.),
Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó
una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las
matemáticas.
A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue
considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es
decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.
TALES DE MILETO
Geómetra griego y uno de los siete sabios de Grecia. Fue el
primer matemático griego que inició el desarrollo racional de la geometría.
Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes
pensaban que sus muchas horas de trabajo e investigación eran inútiles. Pero un
día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones
meteorológicas, por ejemplo, le sirvieron para saber antes que nadie que la
siguiente cosecha de aceitunas sería magnífica. Compró todas las prensas de
aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue, efectivamente, buenísima, y
todos los demás agricultores tuvieron que pagarle, por usar las prensas.
ARQUÍMEDES
Arquímedes (287-212 a.C.)
En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante
fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una
esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que
sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro.
A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea
para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos
para incendiar a distancia los barcos enemigos
1.1 Historia de la Geometria
El origen del termino
geometría es una
descripción precisa del
trabajo de los primeros geómetras
que se preocupaban de la medida de los tamaños
de los campos o el trazado de ángulos
rectos para edificios. Este tipo de geometría
empírica que florecía en el antiguo Egipto,
Sumeria, y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo
VI a.c. El matemático Pitágoras coloca la piedra angular de la
geometría científica al demostrar que las
diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica
se pueden deducir como conclusiones lógicas
de un número limitado de
axiomas o postulados.
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