martes, 5 de junio de 2012
sábado, 24 de marzo de 2012
5.2 Teorema de Pitágoras
PITÁGORAS.
Una de las
demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación,
que suele atribuirse al propio Pitágoras.
A partir de
la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad
En un
triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
a²+b²=c²
5.1 Historia de la Trígonometría
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron
los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones
trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de
pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para
avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y
posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación
y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en
donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber
sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de
“cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones
trigonométricas de la actualidad.
5.3 Relaciones Trígonométricas
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa:
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el
adyacente:
5.4 Teoremas del Seno y del Coseno
Teorema del Seno
Teorema nos puede resultar para cálculos trigonométricos:
Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos nos
permitirá calcular el lado opuesto al otro ángulo.
Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos nos
permitirá conocer el Seno del ángulo opuesto al otro lado. En este caso habrá
que prestar mucha atención porque el Seno de un ángulo puede no determinar de
forma única el ángulo correspondiente. Recordemos que:
Teorema del coseno
En muchas lecciones trigonométricas se establece éste
resultado previo que, para nosotros no es nada nuevo porque ya hemos visto el
Teorema del lado opuesto al ángulo. En él se observaba de manera indirecta esta
relación y se detallaba más.
El teorema de Pitágoras establece una relación entre los
lados de un triángulo rectángulo, sin embargo, es fácil ampliar esta relación a
cualquier triángulo, en los términos siguientes:
- Con la nomenclatura habitual, en cualquier triángulo ABC:
- Si el ángulo del vértice A es menor de 90º : a2 < b2 + c2
- Si el ángulo del vértice A es igual a 90º : a2 = b2 + c2
- Si el ángulo del vértice A es mayor de 90º : a2 > b2 + c2
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