5.2 Teorema de Pitágoras

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.

A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a²+b²=c²

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5.1 Historia de la Trígonometría

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.

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5.3 Relaciones Trígonométricas

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

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5.4 Teoremas del Seno y del Coseno

Teorema del Seno

Teorema nos puede resultar para cálculos trigonométricos:

Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos nos permitirá calcular el lado opuesto al otro ángulo.

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos nos permitirá conocer el Seno del ángulo opuesto al otro lado. En este caso habrá que prestar mucha atención porque el Seno de un ángulo puede no determinar de forma única el ángulo correspondiente. Recordemos que: α y (180º-α) tienen el mismo Seno

Teorema del coseno

En muchas lecciones trigonométricas se establece éste resultado previo que, para nosotros no es nada nuevo porque ya hemos visto el Teorema del lado opuesto al ángulo. En él se observaba de manera indirecta esta relación y se detallaba más.

El teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo, sin embargo, es fácil ampliar esta relación a cualquier triángulo, en los términos siguientes:

• Con la nomenclatura habitual, en cualquier triángulo ABC:
• Si el ángulo del vértice A es menor de 90º : a2 < b2 + c2
• Si el ángulo del vértice A es igual a 90º : a2 = b2 + c2
• Si el ángulo del vértice A es mayor de 90º : a2 > b2 + c2

4.1 Triángulo Equilátero

Tres lados iguales

Tres ángulos iguales, todos 60°

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4.2 Triangulo Isósceles

Dos lados iguales
Dos ángulos iguales

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4.3 Triángulo Escaleno

No hay lados iguales
No hay ángulos iguales

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4.4 Triángulo Rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°)

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4.5 Triángulo Acutángulo

Todos los ángulos miden menos de 90°

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4.6 Triángulo Obtusángulo

Tiene un ángulo mayor que 90°

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3.2 Tipos de Polígonos

3.2.1 Cuadrilateros

3.1 Definición de Polígono

Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados. La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos; por lo tanto, es una figura con varios ángulos. También se define como una poligonal cerrada.

El polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones: una que está dentro, llamada región interior del polígono y una exterior, llamada región exterior del polígono. El plano es la unión de estos tres subconjuntos.

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3.3 Nombres de Algunos Polígonos

Según sus lados

Tiene 3 lados 

Tiene 4 lados

Tiene 5 lados 

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2.1 Recta, Semirrecta y Segmento

Recta

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.

Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Semirrecta

Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos, o la parte de una recta formada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta.

Luego, una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.

Segmento

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

2.2 Ángulo y Clases de Ángulos

Angulo

Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del plano.

Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos <abc y <xyz. Podemos además nombrarlos mediante una letra griega o con un número que se coloca dentro del ángulo. También se puede nombrar por la letra que represente al vértice.

Clases de ángulos 

Ángulo agudo: un ángulo de menos de 90°

Ángulo recto: un ángulo de 90°

Ángulo obtuso: un ángulo de más de 90° pero menos de 180°

Ángulo llano: un ángulo de 180°

Ángulo reflejo o cóncavo: un ángulo de más de 180°

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2.3 Mediatriz y Bisectriz

Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio.

El dibujo siguiente muestra la mediatriz y el punto medio de un segmento.

Bisectriz

La línea que divide algo en dos partes iguales.

Puedes bisectar líneas, ángulos, y otras cosas.

2.4 Recta Paralela Y Perpenticular

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta

1.3 ¿ Que Es La Geometria ?

Geometría 

El área de las matemáticas que trata las líneas, las figuras y el espacio.

La Geometría Plana trata sobre las figuras planas como líneas, círculos y triángulos.

La Geometría Esférica trata las figuras sólidas (tridimensionales) como esferas y cubos

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1.2 Filosofos Y Matematicos

PITÁGORAS

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.),

Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.

A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

TALES DE MILETO

Geómetra griego y uno de los siete sabios de Grecia. Fue el primer matemático griego que inició el desarrollo racional de la geometría.

Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes pensaban que sus muchas horas de trabajo e investigación eran inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones meteorológicas, por ejemplo, le sirvieron para saber antes que nadie que la siguiente cosecha de aceitunas sería magnífica. Compró todas las prensas de aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue, efectivamente, buenísima, y todos los demás agricultores tuvieron que pagarle, por usar las prensas.

ARQUÍMEDES

Arquímedes (287-212 a.C.)

En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro.

A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos

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1.1 Historia de la Geometria

El origen del termino geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras que se preocupaban de la medida de los tamaños de los campos o el trazado de ángulos rectos para edificios. Este tipo de geometría empírica que florecía en el antiguo Egipto, Sumeria, y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.c. El matemático Pitágoras coloca la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas o postulados.

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